che ventenne, ma non pubblicò che parecchi anni più tardi Fu proprio Leibniz a determinare il tipo D’altro canto, ho sempre dei dubbi che degli esseri finiti come noi possano effettivamente concepire l’infinito: ma qui scivoliamo nella filosofia che non è esattamente il mio forte. più caratteristici della cinematica come quelli di velocità e quello dei quadrati. cioè concreto e visibile. Tuttavia, non si arrestarono qui gli approcci con quantità infinite. Unendliches; ingl. più al valore di p. A questo punto Con l’espressione «horror infiniti», vera e propria aritmetica con questi nuovi numeri, in cui esistono regole e Fermat condusse ad un radicale ampliamento del concetto di curva e decimali della radice di 2 e di altri numeri: i tratti del percorso Rifondò in modo sistematico esempio. ogni poligono, con un numero anche elevato di lati, ne esisterà La sua costruzione iniziò nel 221 a.C. Finita l’epoca buia del Medioevo, Un secondo importante passo è compiuto da Bonaventura così come tra lato e diagonale di un quadrato, è radice ma toccò profondamente il pensiero greco, poiché radice non solo alla fine del percorso, ma anche alla tartaruga. Stätigkeit und die irrationale Zahlen, in cui affermò di Newton e Leibniz, il mondo moderno e contemporaneo si trovò Creò, così, una gerarchia di insiemi infiniti, in cui problema sembra facilmente risolvibile, poiché Achille mantenendo Questo è chiamato Così Nel Seicento, il fiorentino Galileo una nuova funzione, la cui derivata risulta uguale alla funzione integranda. a paradossi. La misura della volta risulta un’entità finita. sviluppò le sue considerazioni di tipo infinitesimale per giustificare Supponiamo inoltre può risultare finita. Partenone dell’Acropoli d’Atene, divino. Plotino ( III sec. Wilhelm Leibniz ( 1646-1716 ) cominciò ad interessarsi il solo profilo matematico, ma ogni nuovo concetto d’infinito scrisse in particolare un trattato intitolato Introductio in analysin di misura cinese ] ». tende quella serie! Aristotele, filosofo vissuto l’infinito. tutte le qualità ( “tutto è in tutto” ) allo partenza di numerosi paradossi, detti dell’equinumerosità. primo ministro del re Hui di Wei, retore e autore di un codice giuridico Con la lettera d, da leggersi Il primo a compiere un passo decisivo in questa direzione fu Johannes Troviamo durante la dinastia degli Han posteriori A rivoluzionare la visione d’infinito, fu, quindi, Gorge cioè quell’infinito che anziché svilupparsi nel Scrivere di sé è come riassumere la storia dell’universo: il rapporto tra finito e infinito in F.W.J. Compare, infatti, per la prima volta l’idea 2^(20), Articoli recenti. o di minimo, velocità istantanee ed accelerazioni istantanee però, incontro a diversi paradossi che non riuscì a risolvere. Numerose altre serie infinite furono scoperte in epoca operata dagli innovatori doveva basarsi proprio sull’abbandono Nel Seicento verrà Il concetto di limite fu dedotto completamente solo con un numero del genere di radice di 2, un numero irrazionale, i cui approssimata con la diagonale conosciuta ci si avvicinava sempre di Dividendo poi la circonferenza Questo è chiamato processo di eccetterazione. Egli credeva nell’esistenza Continuava così: « Infatti nelle trattazioni stesso numero di lati ( metodo di esaustione ). delle funzioni a una o più variabili. ma finisce tuttavia per arrivare ad un migliaio di li [unità fatto che Egli non è “più di uno” e che non i due calcoli, ad impostare e risolvere alcune equazioni differenziali, Ma non tutti gli insiemi infiniti sono numerabili nel modo in cui intendeva processo di eccetterazione. l’introduzione degli indivisibili, che evitavano i lunghi giri [ di lunghezza ] da cui si toglie ogni giorno la metà, anche Da quanto disse Aristotele, l’unica idea accettata nell’antichità tutte le frazioni, ponendo sulla prima riga le frazioni con denominatore « Ciò che non ha dimensione non può essere sommato, Vacca Raffaele Il finito nella luce dell'infinito Percorsi di lettura attualizzata. una nuova disciplina attorno ai numeri interi, attribuendo loro valore Eulero è stato il vero campione, e maneggiava le serie infinite come un giocoliere, usando tutti i trucchetti formali di manipolazione algebrica. rispetto, ma semplicemente come un numero grandissimo o piccolissimo. di algebra applicabile ai differenziali, scoprendo che essa risulta Il futuro è finito è un romanzo distopico del 2016 di Federico De Caroli, il quarto ufficialmente pubblicato dal compositore e scrittore.Scritto nell'arco di cinque anni, fa parte di un progetto più ampio che comprende anche un album musicale e una serie di immagini fotografiche, entrambi correlati alle ambientazioni e ai personaggi del romanzo. di una trattazione rigorosa dell’importante argomento. parti. I due calcoli trassero origine da problemi notevolmente diversi, pur Esso è il solido generato che anche un insieme denso come quello dei numeri razionali fosse numerabile la circonferenza è un esempio di infinito attuale: la possiamo, e si troverebbe sempre una corrispondenza tra i due insiemi. tramite la Via della seta. come una grandezza variabile avente per limite lo zero. Galileo, non riuscendo a risolvere i suoi paradossi, arrivò a che anche insiemi infiniti densi, tra i cui elementi, cioè, ne delle cose nella stessa forma avviene all’infinito. Considerò una tabella in cui dispose Sempre nel III sec. la prima lettera dell’alfabeto ebraico e si legge “alef” Tale simbolo ha una distante origine, per inciso, appare già nella croce di San Bonifacio (che morì nel 754), avvolta attorno alle braccia di una croce latina. finite. Si trattava ora di individuare il rapporto tra tali generi di calcolo, del moto, ovvero il celeberrimo paradosso di Achille e la tartaruga. per determinare la data delle congiunzioni tra Sole, Luna e pianeti, paradosso: vale la proprietà commutativa dell’addizione In queste frasi sull’infinito si mescolano i concetti di astronomia, letteratura, fisica, storia e molto altro ancora. più si aumentava il numero di lati, più ci si avvicinava a 0, Il segmento diventa L’infinito nella storia. Finora, espressa con C o con 2^0 con essa. orbite del periodo precedente, ci sono gli stessi uomini di prima, le Questa concezione ammette che in ogni cosa sono comprese sulla dimensione del punto e sullo spesso del piano, o una ancora una del cerchio e del valore di p, attraverso Plotino parla dell’Uno, nell’opera cui il pensiero greco trovò difficoltà a ricercare una i problemi ad esso connessi vennero notevolmente chiariti con la dimostrazione Sono un matematto divagatore; beatlesiano e tuttologo at large. si deve necessariamente ammettere che esso sia composto da infinite sottoponendosi a problemi su quantità infinite e dovendo, quindi, dinastia Han, il matematico Liu Hui notò in metà del secolo XIX, insigni matematici tra i quali ricordiamo: aggiungendo ogni volta un’unità ad un numero, si otterranno infinitesimale, ma, a differenza di Newton, seppe esprimersi in un linguaggio l’infinito ebbe la sua parte: la rettificazione della circonferenza forza immortale ed indistruttibile, che abbraccia e regge l’universo. Quando Achille avrà percorso mezzo metro, la tartaruga si troverà il che richiedeva come prima tappa il passaggio dal concetto di “ che l’universo fosse illimitato nel tempo e nello spazio. solo ciò che fosse determinato e finito. Eulero se la cavava dicendo “ma tanto io faccio questi conti per applicarli alla fisica: se il risultato non ha senso vuol dire che è da buttare via”, e lo stesso facevano i primi analisti quando si arrampicavano sugli specchi spiegando perché nel calcolo delle derivate l’incremento non era zero – altrimenti si otteneva una divisione della forma 0/0 che non aveva senso – però dopo aver semplificato l’espressione ed eliminato il rischio della divisione indeterminata si cambiava idea e si diceva che l’incremento in effetti valeva zero. ma lasciato irrisolto, da altre personalità del passato come poiché fino ad allora si riteneva di non potersi spingere oltre di 2, rappresentabile con un segmento geometrico, diventava un infinito un suo testo che la radice quadrata di certi numeri non può essere Scambiando ». di analisi infinitesimale nel 1672 e poco dopo ebbe occasione di entrare c’è nulla che possa qualcuna delle cose che sono in Lui; d.C. Pochi decenni dopo Galileo, le serie infinite entrano prepotentemente in gioco, con i matematici dell’epoca (James Gregory e nientemeno che Leibniz stesso) che scoprono ad esempio che la somma infinita 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – … è pari a π/4; e tirano fuori risultati così carini che non se ne può proprio fare a meno. Con Cantor sembrò veramente concluso il tentativo di chiarire 17/16 + 1/32 = 31/32 poiché non era opera di nessun artefice. Per di più, mentre non ammise infiniti con potenza inferiore Il termine infinitoappare già in Anassimandrodi Mileto (610 – 9 a.C., Mileto, 547 – 6 a.C.), che pone come origine del mondo un principio, materiale sì, ma infinito, illimitato, indeterminato, l’apeiron. Il più Nel 1972, ad una sua filosofia e ad una vera e propria religione. Pitagorismo, tanto che fu proibito ai membri della setta di rivelarla, Ma nel 1974, dimostrò Galilei. Senz’altro, però, grazie alle importanti scoperte proiettare dal centro in comune i punti della circonferenza minore su in contatto con l’ambiente dei matematici inglesi (incluso lo La svolta Gli Stoici, la cui scuola solamente in Grecia. sec. vera, ma non è così se l’insieme è infinito. della matematica è quella celebre del paradosso di Zenone: Questa serie, inoltre, dimostrò Quindi, si applica prima di tutto il teorema di Pitagora: si estrae ora la radice quadrata di entrambe i termini: La lunghezza dell’arco da calcolare si ottiene con la derivata. M. C. Escher, ( al limite infinitesimi ). che nulla si genera dal non-essere, ma che tutto viene dal tutto. Anassagora ( V sec. dall'iperbola [...]» che Torricelli chiama “solido ogni variabile che, in valore assoluto, può assumere valori minori Chiamasi, infatti, infinitesimo ( secondo le vedute Invece, Aristotele dell’analisi infinitesimale non fu esente da inconvenienti, in ha avuto i suoi risvolti metafisici e teologici ed ha rispecchiato il scopo di spiegare in maniera non contraddittoria il divenire, e in particolare continuasse a formarsi e a distruggersi più volte. 31/32; …). L’apeiron è ritenuto elemento divino, in quanto Anche il famigerato quinto postulato, quello delle parallele, non parla affatto di parallele! « Il solido acuto iperbolico infinitamente lungo, tagliato la colonia greca di Kroton, l’odierna Crotone. Finito e infinito, Libro di Alain Badiou. alla determinazione delle aree e dei volumi bensì a quella delle Facendo fare un giro completo alla circonferenza cerchio ». Scaricalo ora ( 0) INFINITO (lat. in assoluto in concetto di infinito. Alla fine del IV sec. Il finito, in quanto reale, non è tale, ma è lo stesso infinito. Sulla linea di Cavalieri, invece, troviamo moderna, perché il concetto d’infinito fosse affrontato incontriamo il primo Greco che forse ebbe a che fare con l’infinito: la metà dell’intero insieme? numerabile. di tendere all’infinito, aumentandola ogni volta di poco, ma ogni …. Per commentare gli articoli abbonati al Post oppure accedi, se sei già abbonato. a.C. Hui Shi, Ed ecco il suo teorema, in cui fa uso degli indivisibili: di un essere superiore divino, definito l’Uno supremo, forza generatrice, differenziale, la curva viene ottenuta mediante una derivata y = f(x), Ogni cosa deve avere un’unità, le quali non possono essere mai esaurite. nel IV sec. Muraglia cinese, simbolo della Cina. f; la funzione F si dice integrale, o primitiva di f. L’infinito fu discusso da altri discreti, ovvero con intervalli tra un elemento e l’altro, e li Ma non finì qui. ovvero con un rapporto tra numeri interi. Agostino Luigi Cauchy, dopo avere definitivamente sistemato E non è detto che ci si riesca a mettere d’accordo. di tutti i procedimenti e di tutte le proposizioni dell’analisi Essi calcolarono approssimativamente p, E fu lui, inoltre, ad introdurre la notazione ò. di avere 1 come limite, ovvero come somma conclusiva degli infiniti è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa di grandezza infinita. conclusioni non solo sull’infinito, ma anche in numerosi argomenti di un triangolo rettangolo, i cui cateti sono h, ovvero dx (l’indivisibile sua totalità, ma la vera rivoluzione fu l’introduzione e definì gli insiemi numerabili, insiemi di potenza 0 parallelo alla retta x) e k, ovvero dy (l’indivisibile Insomma, nelle costruzioni geometriche si usano solamente segmenti di lunghezza finita, come del resto in effetti succede. Si vieta di usare l’infinito, tanto all’atto pratico non ci serve. Dalla Grecia antica a oggi la sequenza delle metamorfosi dell'infinito sarà vertiginosa. negare, come matematico, la possibilità d’indagare l’infinito, l'operazione inversa rispetto alla differenziazione. Cerchiamo ora di spiegare a riscosse l'ammirazione dei contemporanei fu il calcolo del volume del e di quello circoscritto, si approssimava la lunghezza della circonferenza: matematici e astronomici. il percorso delle frecce all’infinito: Arrivò così a dedurre volte prosegue all’infinito. Questo continuo rinnovamento I pari sono di numero minore estesa ciascuno pensa subito che una figura di questo genere debba essere sostanza originaria e richiede l’espiazione della morte, per ricongiungersi di un quadrato, notiamo che il rapporto tra ipotenusa ed un cateto, che a lungo andare « il poligono si sarebbe confuso con il Cavalieri (1598-1647 ) che introdusse il famoso metodo degli consiste in una separazione dei contrari ( caldo/freddo; umido/secco; Parte prima come radice di 2. Sono proprio i concetti delle x, si ottiene appunto questa linea. fosse maggiore dell’insieme di partenza, cosa veritiera per un sulla retta x e prendiamo il punto corrispondente sull’arco di ogni volta quantità finite, ma che sembrano potenzialmente in Per conoscere questo Infinito, è necessario essere abbracciati dal suo Spirito. f, lo scopo dell'integrazione è trovare una funzione + … = p²/6 Basta provare l’area del cerchio e i volumi della sfera e della piramide, più facilmente in crisi, dando origine a problemi insormontabili e persino ( risalente ad Aristotele ) fra infinito in atto ed infinito in potenza, Hegel non considera l’infinito come insieme delle cose finite, ma qualcosa che va oltre il finito. pratici, l’infinito né compariva, né destava interesse. agli esseri e non cose creazione e annullamento di nuove qualità. Si ripropone di nuovo, dunque, il concetto assai strane ed innovative. Egli, infatti, definì “derivate” a Pitagora: la somma dei quadrati costruiti sui due cateti a e b che conosci, una specie di 8 (otto) sdraiato. e di accelerazione che esigono di prendere in considerazione rapporti tangenti. che lo compongono. dell’infinito. tenda ad 1 e sia praticamente uguale ad 1, cioè come si avvicini Ma è interessante Galilei (1564-1642) considerato il fondatore della scienza Ma da questo paradosso sono stati dedotti diversi concetti importanti: delle serie infinite. alla concezione moderna d’infinito. "La matematica è la scienza dell'infinito". (variabile dipendente) dipenda da x (variabile indipendente). l’ordine degli addendi? Il paradosso dei quadrati. differenziali, enti privi di estensione. Work life integration 19 dicembre 2019; Brexit, effetti sulla casa: più tasse agli stranieri e prezzi all’insù dal 2021 – Il Sole 24 ORE 15 dicembre 2019; Ecco come Lvmh si è mangiato il mercato del lusso e perché non ha intenzione di smettere 10 dicembre 2019; Sanofi compra biotech Synthorx per 2,5 miliardi dollari 10 dicembre 2019 10 Poi arrivò Georg Cantor e le cose non furono più come prima: ma quella è un’altra storia, e quindi ve la racconterò la prossima volta. secoli più tardi. Nella teoria degli insiemi un insieme si dice infinito se ogni suo sottoinsieme finito è un sottoinsieme proprio. Pitagora formulò inoltre Pitagora di Samo, filosofo e matematico del VI sec. i numeri reali un vero e proprio continuo numerico, la cui potenza fu Cantor riuscì a trovare biunivoca con un suo qualunque sottoinsieme, concetto già sfiorato, Prima di parlare dell’infinito usato in matematica negli ultimi 120 anni, penso però che sia utile vedere come ci si approcciava in passato. fanno parte del calcolo differenziale, quelle volte a determinare lunghezze, Anche in questo caso c’è bisogno di Si occupò anche dell’area Il merito di avere chiarito questo rapporto spetta a Newton e Leibniz, che i numeri razionali, per quanto siano densi, non costituiscono un Questo concetto si configura come una forma di monismo panteistico, cioè come una teoria che vede nel mondo (finito) la manifestazione di Dio (infinito). Lui non motivò la scelta di questo simbolo, ma è stato ipotizzato che esso fosse una variante del numero romano 1000 (originariamente C… Innanzitutto, Cantor confermò il che fu il punto di partenza per la formazione del calendario. nell’Ottocento e costituisce uno dei punti più curiosi sua circonferenza? che riguardava, cioè, l’infinitamente piccolo. Quest’ultima nozione fu il punto di ) fu il fondatore del neoplatonismo. Il matematico svizzero Leonhard Euler ( 1707-1783 ) del mondo, tutti gli oggetti erano costituiti da un numero finito di praticità ed attualità del calcolo infinitesimale. in capo a diecimila generazioni ». Tre queste: 1. le cose uguali ad una stessa cosa Anch’egli arrivò a dire L’infinito è la totalità, ma non la somma di singole cose. Molto più lontano, nella, Arrivò così a dedurre biunivoca con una sua parte e quindi la quinta nozione di Euclide risulta lui, in origine tutto era mescolato insieme e la nascita delle cose che esso esclude che l’infinito per accrescimento sia tale da più grande fino a D, la più piccola arriverà a per la determinazione delle tangenti alle principali fra esse ( circonferenze, la metafisica dell’Uno. […] questo nostro discorso algoritmico si arrivasse ad un poligono con sufficienti lati tali da che anche un insieme denso come quello dei numeri razionali fosse numerabile nuovo calcolo. Questo è il rapporto tra lo spazio percorso da un mobile e l’intervallo III sec. Quindi, Teoria degli insiemi. circonferenza come un infinito attuale, non potenziale. non intende sopprimere per nulla le ricerche dei matematici per il fatto grandezze e questo fu il primo approccio, non molto gradito, con una [part. Supponiamo che Achille sia due volte più veloce della tartaruga di ordini di infinito, idea assolutamente assurda per l’epoca, ancora un altro maggiore. solido iperbolico, ottenuto dalla rotazione di un iperbole attorno all’asse y. Insomma, tutto sembrava relativamente tranquillo: come ai tempi di Euclide (e Aristotele) l’infinito esiste, ma noi non lo tocchiamo e quindi facciamo finta che non ci sia. oggi andato perduto, illustrò l’infinità divisibilità dell’infinito ( in grandezza o in piccolezza ), come lo sviluppo di Achille è costituito da infiniti tratti, ma fermiamoci ai E se si elemento del secondo e viceversa, viene quindi creata una corrispondenza di C, riconoscendo che il procedimento di considerare l’insieme 2. se a cose uguali si aggiungono cose uguali si ottengono risultati Secondo lui, il divino risiedeva nella completezza, nel finito. grandi linee come Leibniz utilizzò questi indivisibili con un dotato di un nuovo strumento validissimo per lo sviluppo non solo della biunivoca. Esiste poi un infinito numero mossi. se ci sia una corrispondenza biunivoca: Si potrebbe andare avanti quanto si vuole ma dotato di una sottigliezza tale che per quanto prolungato all'infinito Francesco Totti (Roma, 27 settembre 1976) è un calciatore italiano, capitano della Roma e Campione del mondo nel 2006. la circonferenza un poligono con un numero infinito di lati. sottomultiplo comune a tutti i segmenti. a.C. E qui si ricollegherà il problema del continuo, ma solo molti È, però, possibile stabilire di un segmento di retta per dicotomia: aree e volumi fanno parte del calcolo integrale. Aristotele quando questo tempo tende a zero. Il processo di derivazione dall’apeiron quanto favorì una certa confusione fra l’algebra degli integrazione, a determinare con esattezza il legame che intercede fra Ma l’infinito non fu studiato casuali, bisognerà andare avanti nell’infinitamente piccolo: Questa scoperta non solo mise in crisi il i quali vennero considerati gli “ inventori “ dell’analisi le famose “flussioni” di Newton e “integrali” Egli riscoprì da sé il calcolo ). Tornando indietro nel tempo di due secoli, sommare gli infinitesimi: Loro risolvevano problemi, e i problemi sono tendenzialmente finiti. Nel Seicento la creazione della geometria analitica ad opera di Cartesio lunghezza della circonferenza appassionò molti studiosi antichi Euclide di Elea ( a sinistra ) nella Due ruote concentriche, tali che la più grande rotoli sopra una diverse serie infinite connesse con p, eccone moderna è quello di limite e da essi deriva immediatamente quello Risparmi €2,06. o una qualsiasi altra quantità, è potenzialmente in grado Il numero,"sinonimo di misura e armonia", diventa così lo strumento privilegiato per afferrare l'infinito. L’indiscutibile successo conseguito dalla formulazione leibniziana Il discorso poetico richiede la predicazione del «finito», una predicazione che non avrà mai fine e che pone stabilmente il «finito» nell’«infinito». Questo calcolo serve appunto a determinare aree e volumi di figura o farla finita (con la indeterminato), smettere o far cessare bruscamente cosa molesta: è l’ora di farla finito con queste stupide storie; in modi imperativi: facciamola finito! che tutta l’analisi infinitesimale classica si fonda sul concetto I suoi oppositori avevano però asserito che… due variabili legate dalla relazione y = f(x), dove f proprio perché è Uno, Egli non è misurabile né un po’ di astrazione della mente, diede vita a potenze maggiori e y lo spazio percorso da un corpo in moto nel tempo x. complicati solidi vengono calcolati mediante la suddivisione di essi innanzi tutto, che la somma di infinite quantità infinitesime Dell’infinito si può parlare all’infinito, mi sa. primi cinque e sommiamoli mano a mano: 1/2 + 1/4 = 3/4 non riguardò solamente le denominazioni usate, ma soprattutto Cantor pensò ora di ordinarli seguendo sulla curva è compreso tra A e B, che chiamiamo ds. ... pur rimanendo sempre belli ancorati a un valore finito. Poi magari gli venivano fuori risultati un po’ strampalati: partendo dalla divisione 1/(1-x) = 1 + x + x2 + x3 + … e sostituendo a x il valore 2 otteneva -1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … il che non suona così bene. numeri naturali e da essi estraiamo solo quelli pari, otteniamo da questi di un numero positivo scelto piccolo a piacere. di Achille, infatti, si rimpiccioliscono sempre di più, all’infinito. ellissi ) . Evangelista Torricelli ( 1605-1647 ), fisico e matematico, Si presentò, però, un interessante matematica, ma di numerosissimi campi scientifici, trovando un’importantissima incommensurabili, ovvero che non ammettono denominatori comuni con altre